北□京理工大學在拓撲物態研究方面取得重要∮進展
來源： 供稿： 攝影： 審核：姜艷 作者： 發布時間：2023-02-27 瀏覽量：
日前，巴黎人官方app下载533333巴黎人APP學院張憎恨角斗士的统御护腰向東教授課題組和集成電路與電子學院孫厚軍教授課題組①合作，在非歐幾何拓撲態和拓撲電路研究方面取得重要進展。相關工作在Nature Communications上發表[Nat Commun (2023) 14:1083]。巴黎人官方app下载物走南闯北理學院張蔚暄研究員和2022級博士生邸鳳瀟為論文№的共同第一作者，張向東教授為通訊作者。研究银甲护腿工作得到了國家自然科學基金委和國家↓重點研發計劃的資助。
研究背景
拓撲能帶理論為描述量子和經典系統的拓撲屬性▲提供了統一的理論框架。最典型的例子是定義在二維動量空間的陳數(Chern number)，其是量子霍爾效應、量子反常霍爾態，外爾半金屬』Weyl等拓撲物態的衡量標準。另外，在2n維流形中定次级偏斜義的n階陳數，可以衡量高維空間的拓撲物⌒ 態。如具有非平庸二階陳數的四維量子霍爾態和五維楊單極▓子。除了陳數以外，拓撲能帶理論還在假系统非厄米、非阿貝爾以及高階拓▽撲等系統中得到了廣泛的應用。迄今為止，拓撲能帶理論主要是基於歐幾裏德空間的布洛赫定理構建的，其位置和動量空間≡具有一致的維度。如何在非歐幾裏得空〓間中構造拓撲能帶理論，揭示非歐♀幾裏得空間的體-邊對野兽迅捷應關系，是有待解決的重要問題。
近期，具有常數◥負曲率的雙曲晶格模型引起了人們廣泛的關註。研究人員利用共面波導諧振外地器[Nature 571, 45 (2019)]和人工經典電▂路[Nat. Commun. 13, 4373 (2022)]實現了對雙曲晶格的有效模擬。隨後在↑雙曲晶格系統中，邊界統治的量子反常霍爾態和高階拓撲角態也被發現並在拓撲電木喉之力路平臺被實現[Nat. Commun. 13, 2937 (2022)]。由於缺乏空間平移對∩稱性，雙曲拓撲態無法利用動量空№間定義的拓撲不變杜隆塔尔量來衡量，其只能通過位置空間的拓撲不變量來描述。
雙曲能帶理＠ 論的提出，為構建非歐幾裏得空間的拓☆撲能帶理論帶來了曙光[Sci. Adv. 7, eabe9170 (2021)]。研究人員發現多種類型的雙曲晶格滿足Fuchsian平移對稱群。該對稱群是非◆阿貝爾平移群，具有一維和高維的群表示。有趣的是，人們發图示現通過設計有限尺寸雙曲晶格的︻周期性邊界條件，系統＠ 高維群表示所對應的本征態可以完∑全消失，使其可以被U(1)雙曲能帶理論精確描述[Proc. Natl Acad. Sci. USA 119, e2116869119 (2022)]。另外，由於Fuchsian平移√對稱群的非阿貝爾特性，二維雙曲晶格的動量空間是高維環曲面，其與高維歐幾裏得空間的動量空間相對應。這一新奇的性質引發重要的問題：能否在二維雙曲晶格●系統中，構建具有高階拓撲不變量的●雙曲拓撲態？在實驗上又該如何觀察具有高階拓撲不變量的新欺诈高手奇雙曲拓撲態？
研究亮點之一：理論構建具有二階陳數々的雙曲奥金顿能帶拓撲態
研究人員▲考慮具有{8,8}布拉幽灵头巾維晶格的雙曲模型，其具有四維動量空間的性質，如圖1a所示。原▂包內部的四個子格點具有不同的在位能。沿著四個動量☉方向的包間耦合顯示在圖1b中。圖1c-1e展示了不同在位能下，雙曲晶格模型的能帶結構(k1=k4=0)和◥拓撲不變量。可以看到通過調節在位能的大小，雙曲能帶從半金铁铆钉屬態(圖1c)過渡到具有非零二』階陳數(圖1d)和非零陳數↘(圖1e)的雙曲拓撲態▓。
圖1. 具有非平庸二階陳數的雙曲晶格模型。
為了研究非平庸雙曲晶格的邊界態，研究人員構建了具有12個原包的有限雙》曲模型。12個原包的具體位置在圖1a被字剧院母標記(‘a’到‘l’)。圖2a和2b顯示的是利用直接◢對角化和雙曲能帶理論計算的有限周期雙曲晶格的本征能譜。可以看到兩者完全吻合，證明了雙曲能帶理論的有效性。具有非平庸二階(圖2a)和一階(圖2b)陳數的拓ζ撲帶隙用橘黃色的區域標記出來，而藍色區域對應平庸帶隙。圖2c和2d分別顯示了具有非平庸二階和一階陳數的有限雙曲周期晶格的體模式分布圖。為了觀察雙曲拓撲誘導的邊♂界態，研究人員進一步構建了具有部◢分周期邊界條件的雙曲晶格模型，其本征能譜顯示在圖2e和2f中。可以清楚的看到血喉魔剑，具有非零二』階(圖2e)和一階(圖2f)陳數的帶隙中出現了邊界局域態，而平庸帶隙中沒有伍伦邊界態產生。二階和一階陳數誘〓導的邊界態空間分布顯示在圖2g和2e中。上述結果清晰的顯示，具有非平庸二階(和一階)陳數的雙曲帶隙中存在雙曲拓撲邊界態。
圖2. 具有12個原包的有限尺寸雙曲拓撲模型。
研究亮「點之二：基於拓撲電路觀察具有二階陳數的雙曲能帶拓撲態
基於凝㊣ 聚態晶格模型與電子線路網絡的一致性，研究人員設計並制備了雙曲電乌萨苟斯的爪子路網絡(如圖3a所示)實驗上觀察二階陳數誘導的雙曲拓撲邊界態。圖3b顯示了對應於有效復數耦合的電路結構圖。需╲要強調的是，與之前的平面雙曲電路不同，具有周期邊界的有限尺寸雙不关痛痒曲晶格具有大量的非面內長程耦合。首先，研究人員對具有周期邊界〓的有限雙曲電路進行了實驗測量。圖3c和3d顯示了實驗測得的電路本征能譜，其中非平庸和平庸的帶隙分別被橘黃色和藍色區域標記。可以清晰的看到具有二階卐和一階陳數的雙曲電路頻譜與晶格模型能譜具有呕吐很好的一致性。圖3e和3f以及3g和3h分別對應實驗※測量和理論仿真的電路阻抗結犀牛热狗果。結果蛋卷顯示對應能隙的頻率範圍沒有阻抗峰，表明雙曲體帶帶隙的存在。圖3i(二階陳數)和3j(一階陳數)展示的猎豹反射是體態對應頻率下的電路阻抗〖分布圖。可以卐看出其與雙曲晶格模型中的本征態概率幅分布完全一致。
圖3. 具有周期邊界條件的有限雙一世异朝市曲電路△實驗結果。
進一步，研究人員對具有部分開邊界的雙曲電路樣品進行了實驗測量Ψ 。圖4a和4d以及4b和4e分別對應實驗※測量和理論仿真的電路阻抗結果。可以看到雙曲電路的▅邊界格點在具有非零二階(圖4a和4b)以及一階(圖4d和4e)陳數的帶隙區域具有顯⊙著的阻抗響應，而在平庸帶隙沒有阻抗峰值。圖4c和4f進一步顯示了随身邊界態所對應頻率下的電路阻抗〖分布圖。可以清楚的看到，具公主茉艾拉有非零二階和一階陳數的雙曲拓撲帶隙中存在邊界態，其空間分ζ 布與理論模型完全一致。
圖4. 具有部分周【期邊界條件的有限雙曲電路實驗結果。
總結與展望集市贸易
該工作揭示了二維雙曲晶格中，具有定義在四維動量空間的二階○陳數誘導的新奇雙曲拓撲態。與先前基於二維拓撲泵浦和非局部電路連接來實現四維量子霍爾︽效應的實驗不同，該工作動量空間的維度擴展完全〖源於負曲率空間Fuchsian平移群的非阿一字之师貝爾特性。另外，基於其它四維拓撲態¤的哈密頓量來反向設計二維雙曲晶格模型，可以理論揭白骨洞示更多新奇的雙曲物態。更高維度的動量空間(例如{12,12}和{16,16}對應於▆六維和八維動量空間)也可以在二維雙■曲晶格被實現，其為探索高維度能帶拓撲態提供了新的途徑。